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线面垂直的判定定理证明

2021-06-15 20:34:45文/杨婷

线面垂直的判定定理证明:判定定理:如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直。注意关键词“相交”,如果是平行直线,则无法判定线面垂直。

线面垂直的判定定理证明

线面垂直的判定定理证明

定定理:

如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直。

注意关键词“相交”,如果是平行直线,则无法判定线面垂直。需要相交的原因见下文。

反证法:

设有一直线l与面S上两条相交直线AB、CD都垂直,则l⊥面S

假设l不垂直于面S,则要么l∥S,要么斜交于S且夹角不等于90。

当l∥S时,则l不可能与AB和CD都垂直。这是因为当l⊥AB时,过l任意作一个平面R与S交于m,则由线面平行的性质可知m∥l

∴m⊥AB

又∵l⊥CD

∴m⊥CD

∴AB∥CD,与已知条件矛盾。

当l斜交S时,过交点在S内作一直线n⊥l,则n和l构成一个新的平面T,且T和S斜交(若T⊥S,则n是两平面交线。由面面垂直的性质可知l⊥S,与l斜交S矛盾)。

∵l⊥AB

∴AB∥n

∵l⊥CD

∴CD∥n

∴AB∥CD,与已知条件矛盾。

综上,l⊥S

代数法:

如图,l与α内两条相交直线a,b都垂直,求证:l⊥α

证明:与a或b平行的直线必垂直l,因此接下来的讨论围绕与a,b不平行的直线进行。

先将a,b,l平移至相交于O点,过O作任意一条直线g,在g上取异于O的点G,过G作GB∥a交b于B,过G作GA∥b交a于A。连接AB,设AB与OG交点为C

∵OA∥GB,OB∥GA

∴四边形OAGB是平行四边形

∴C是AB中点

由中线定理,

在l上取异于O的点D,连接DA,DB,由中线定理

两式相减可得

又注意到OD⊥OA,OD⊥OB

∴得

∴OD⊥OC

由g的任意性可知,l与α内任意直线都垂直

∴l⊥α

向量法:

设直线l是与α内相交直线a,b都垂直的直线,求证:l⊥α

证明:设a,b,l的方向向量为a,b,l

∵a与b相交,即a,b不共线

∴由平面向量基本定理可知,α内任意一个向量c都可以写成c= λa+ μb的形式

∵l⊥a,l⊥b

∴l·a=0,l·b=0

l·c=l·(λa+ μb)=λl·a+ μl·b=0+0=0

∴l⊥c

设c是α内任一直线c的方向向量,则有l⊥c

根据c的任意性,l与α内任一直线都垂直

∴l⊥α

线面垂直的性质定理

性质定理1:如果一条直线垂直于一个平面,那么该直线垂直于平面内的所有直线。

性质定理2:经过空间内一点,有且只有一条直线垂直已知平面。

性质定理3:如果在两条平行直线中,有一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面。

性质定理4:垂直于同一平面的两条直线平行。

推论:空间内如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行。(该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上,在空间几何上也成立。)

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